TOÁN 7
Tập 2

Chương VII

Bài 12: Tính chất ba
đường trung trực
của tam giác – Tiết
2

On
g

non
học

việ
c

Cho tam giác ABC
cân tại A. Các đường
trung tuyến AM, BN,
CP. Khẳng định đúng
là

A. AM là đường
trung trực của
tam giác ABC.

B. BN là đường
trung trực của
tam giác ABC.

C. CP là đường
trung trực của
tam giác ABC.

D. Cả A, B và C
đều đúng.

II.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG
TRUNG TRỰC CỦA TAM
GIÁC

Thảo luận nhóm, hoàn thành HĐ2.
HĐ
2

Quan sát các đường trung trực của tam giác ABC (Hình 126), cho
biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Các đường trung trực của tam
giác ABC cùng đi qua điểm O.

KẾT LUẬN
Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một
điểm.
Nhận xét:
Đế xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần
vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ
Cho tam giác có đường trung trực của hai cạnh và cắt
4
nhau tại . Điểm có nằm trên đường trung trực của cạnh không? Vì sao?
Giải
Vì ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm nên giao điểm
của hai đường trung trực của các cạnh và cũng thuộc đường trung trực
của cạnh .
Vậy điểm nằm trên đường trung trực của cạnh .

Luyện tập
2

Trong Hình 127, điểm có phải là giao điểm ba đường trung
trực của tam giác không?
Giải
Trong hình, đường thẳng qua

và cắt

không vuông góc với nên không phải
giao điểm ba đường trung trực của tam
giác .

HĐ
3

Quan sát giao điểm của ba đường trung trực của tam giác (Hình
128 ) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng .
Giải:

OA  = OB  = OC

Nhận xét:
Giao điểm ba đường trung trực của một
tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

KẾT
LUẬN


  
F1 OA , F2 OB

Trong một tam giác, ba đường trung trực cùng đi qua
một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

CHỨNG MINH
Vẽ các đường trung trực lần lượt của các cạnh và . Gọi là
giao điểm của hai đường thẳng và
Vì

nằm trên đường trung trực của cạnh

nên .
Tương tự, ta có .
Suy ra . Do đó điểm nằm trên đường trung
trực của cạnh .

CHỨNG MINH
Vậy ba đường trung trực của tam giác cùng đi
qua điểm .
Mặt khác, ta có: .
Vậy điểm cách đều ba đỉnh của tam giác .

Ví dụ
5

Cho tam giác đều có là trọng tâm. Chưng minh cũng là điểm
cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Giải
Vì

là trọng tâm của tam giác

đường thẳng

nên các

lần lượt cắt các cạnh

tại

theo thứ tự là trung điểm của các cạnh này.

Giải
Tam giác đều nên tam giác cân tại đỉnh .
Suy ra .
Do nên là đường trung trực của đoạn thẳng .
Vì thế, đường trung tuyến cũng là đường trung trực
của tam giác .
Tương tự, các đường trung tuyến
đường trung trực của tam giác .

cũng là các

Do đó là giao điểm ba đường trung trực của tam
giác .
Vậy cách đều ba đình của tam giác .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi là giao điểm của ba đường trung trực trong . Khi đó
là:   
A. Điểm cách đều ba cạnh của .
B. Điểm cách đều ba đỉnh của .
C. Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng .
D. Đáp án B và C đúng.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Cho tam giác cân tại có là đường trung trực của cạnh và
là tia phân giác của góc là giao điểm của và . Khi đó điểm là:
A. Điểm nằm trên đường trung trực của cạnh .
B. Điểm nằm trên đường phân giác của góc .
C. Điểm nằm trên đường trung tuyến của cạnh .
D. Điểm cách đều ba cạnh của tam giác .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Cho tam giác vuông cân tại . là hình chiếu của trên cạnh .
Chọn câu trả lời sai.
A. nằm trên đường trung trực của cạnh .
B. là giao của ba đường trung trực trong tam giác .
C. nằm trên đường phân giác của góc .
D. là giao của ba đường phân giác trong tam giác .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Cho tam giác cân tại , có , đường trung trực của cắt ở . Số
đo góc là:
A.
B.
C.
D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Cho tam giác vuông tại , có , đường trung trực của cắt
tại . Em hãy chọn câu đúng.
A. là đường trung tuyến của tam giác .
B. = .
C. là phân giác của góc .
D. là đường trung trực của tam giác .

01

Cho tam giác và điểm thoả mãn . Chứng minh rằng là giao
điểm ba đường trung trực của tam giác .
Giải
- Do nên nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng .
- Do nên nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng .
Tam giác có là giao điểm hai đường trung trực
của đoạn thẳng và đoạn thẳng nên là giao
điểm ba đường trung trực của tam giác .

02 Cho tam giác . Vẽ điểm cách đều ba đỉnh trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác nhọn;
Giải

02 Cho tam giác . Vẽ điểm cách đều ba đỉnh trong mỗi trường hợp sau:
b) Tam giác vuông tại ;
Giải

02 Cho tam giác . Vẽ điểm cách đều ba đỉnh trong mỗi trường hợp sau:
c) Tam giác có góc tù.
Giải

03

Tam giác có ba đường trung tuyến cắt nhau tại . Biết rằng điểm

cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác . Chứng minh
tam giác đều.

Giải
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh .
Do

vừa là trọng tâm của tam giác và

trung điểm của nên thẳng hàng.

là

03

Giải

Do

là giao điểm ba đường trung trực của tam giác

nên nằm trên đường trung trực của cạnh do đó nằm
trên đường trung trực của đoạn thẳng .
Suy ra = .
Thực hiện tương tự ta thu được = .
Do đó = = .
Tam giác có = = nên tam giác đều.

04

Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại . Biết rằng cũng

là giao điểm ba đường trung trực của tam giác . Chứng minh tam giác
đều.

Giải
Gọi lần lượt là chân đường cao kẻ từ đến .
Do là giao điểm ba đường phân giác của tam
giác nên

04

Giải

Do là giao điểm ba đường trung trực của tam giác
nên I nằm trên đường trung trực của các cạnh .
Suy ra đường thẳng qua , vuông góc với lần lượt là
đường trung trực của các cạnh .
Suy ra lần lượt là trung điểm của các cạnh
Do là đường phân giác của nên

04

Giải

Xét ∆ vuông tại và ∆ vuông tại có:
chung.
Suy ra ∆ = ∆ (cạnh huyền - góc nhọn).
Do đó = (2 cạnh tương ứng).
Mà là trung điểm của nên ;
là trung điểm của nên .
⇒ =.

04

Giải

Thực hiện tương tự ta thu được = .
Do đó = = .
Tam giác có = = nên tam giác đều.

05

Cho tam giác . Đường trung tực của hai cạnh và cắt nhau tại điểm
nằm trong tam giác. là trung điểm của . Chứng minh:
a)
Giải

b) .

05 Giải
a) Tam giác có là giao điểm hai đường trung
trực của đoạn thẳng và đoạn thẳng .
Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng
quy nên nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng .
Lại có là trung điểm của nên là đường trung
trực của đoạn thẳng .
Do đó ⊥ .

05 Giải
b) Do ⊥ nên ∆ và ∆ vuông tại .
Xét ∆ vuông tại và ∆ vuông tại có:
chung.
= (theo giả thiết).
Suy ra ∆ = ∆ (2 cạnh góc vuông).
Do đó .

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác
Nếu là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác thì .
Đặt . Đường tròn tâm bán kính đi qua ba đỉnh của tam giác . Sau này, ta sẽ gọi
đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác và điểm là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác .
Nếu tam giác

nhọn thì điểm

nằm trong tam

giác. Nếu tam giác vuông thì điểm là trung điểm
của cạnh huyền. Nếu tam giác tù thì điểm nằm
ngoài tam giác.

Ghi nhớ kiến

Hoàn thành bài

Chuẩn bị Bài 13:

thức trong bài

tập trong SBT

Tính chất ba đường
cao của tam giác

Like fanpage Hoc10 - Học 1 biết 10 để nhận thêm nhiều tài liệu giảng dạy
theo đường link:

Hoc10 – Học 1 biết 10
Hoặc truy cập qua QR code