ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM                        KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG  NĂNG KHIẾU          Môn thi : TOÁN CHUYÊN               
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao dề
 Câu I:
1)      Cho phương trình  x2 – mx + 2m -2 = 0 (1)
a)      Chứng minh rằng (1) không thể có hai nghiệm đều âm;
b)      Giả sử x1, x2  là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức

không phụ thuộc vào giá trị của m.
2)      Giải hệ phương trình:

Câu II:
Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lựơt tại D, E, F. Đường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K.
1)      Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng.
2)      Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.
Câu III:
Cho góc vuông xAy và hai điểm B, C lần lượt trên các tia Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC và các đỉnh P,Q thuộc cạnh BC.
1)      Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và đường cao AH = h của tam giác ABC.
2)      Cho B và C thay đổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC = k2 (k không đổi). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ.
Câu IV:
Một số nguyên dương n được gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phương các chữ số của nó.
1)      Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.
2)      Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.
Câu V:
Trong một giải vô địch bóng đá có 6 đội tham gia. Theo điều lệ của giải, hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, đội thắng được 3 điểm, đội hoà được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, số điểm của các đội lần lượt là D1, D2, D3, D4, D5, D6 (D1≥ D2 ≥ D3 ≥ D4 ≥ D5 ≥ D6). Biết rằng đội bóng với số điểm D1 thua đúng một trận và D1 = D2 + D3 = D4 + D5 + D6. Hãy tìm D1 và D6.
GIẢI
CÂU 1: 1) a) (1) có 2 nghiệm đều âm (
( không có giá trị m nào để phương trình có 2 nghiệm đều âm.
( (1) không thể có 2 nghiệm đều âm.
b) Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, theo hệ thức Vi-ét:
x1 + x2 = m; x1x2 = 2m – 2.
x1, x2 là nghiệm của (1) (
Do đó biểu thức đã cho có thể viết: (m-2)2(x1 – 2)(x2 – 2) :
2) Từ hệ đã cho suy ra x, y, z ≥ 0. Do x, y, z trong hệ có vai trò như nhau nên ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 0.
Với x ≥ y ( y2 + z2 ≥ z2 + x2 ( y2 ≥ x2 ( y ≥ x , mà x ≥ y ( x = y.
Với x ≥ z ( y2 + z2 ≥ x2 + y2 ( z2 ≥ x2 ( z ≥ x , mà x ≥ z ( x = z.
do đó x = y = z. Thế vào 1 trong các phương trình của hệ được phương trình: x = 2x2 ( x = y = z = 0;
x = y = z = ½.
CÂU II:
1) (AIE vuông tại E đường cao EJ có IA. IJ = IE2 = ID2 (
(IDA và (IJD có góc I chung và nên (IDA ~ (IJD (c.g.c)
2) Gọi H là giao điểm của KI và AD.
KJID nội tiếp ( (1)
(IDA ~ (IJD ( (2)
(1), (2) ( ( AKHJ nội tiếp ( hay KI ( AD.
CÂU III:
1) Đặt cạnh hình vuông là x. MN//BC (
MQ // AH (
(
2)
SMNPQ = x2 =
(Cô – si cho 2 số
và h2; a2 = b2 + c2 ≥ 2bc = 2k2 )
MaxSMNPQ =
(
( (ABC vuông cân tại A.
CÂU IV:
Giả sử n là số bạch kim có 3 chữ số, n dạng
Cách 1: ta có : 100a + 10b + c = a2 + b2 + c2 dễ thấy 10b > b2 100a = 90a + 10a