DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG
Thời gian

Nhận xét

Ký tên

2

KẾ HOẠCH BÀI DẠY CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10 – HỌC KỲ 2
Tuần : 19, 20
Tiết PPCT: 19, 20
Chuyên đề
❷

GIẢI TÍCH

BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 2

Bài 1
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n ∈ N ¿.
a) 13 +23 +33 +…+ n3=n2 ¿ ¿
b) 1.4+ 2.7+3.10+…+ n(3 n+1)=n ¿;
1
1
1
1
n
+
+
+…+
=
c)
.
1.3 3.5 5.7
(2n−1)(2 n+ 1) 2 n+ 1
Lời giải:
a) Bước 1. Với n=1, ta có 13=12 ¿ ¿. Do đó đẳng thức đúng với n=1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có:
3

3

3

3

2

1 +2 +3 +…+ k =k ¿ ¿

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
3

3

3

3

1 +2 +3 +…+ k + ¿

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
¿
¿

Vậy đẳng thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1. Với n=1, ta có 1(3 ⋅1+1)=4=1 ¿. Do đó đẳng thức đúng với n=¿ 1.
Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có:
1.4+ 2.7+3.10+…+ k (3 k +1)=k ¿

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
1.4+ 2.7+3.10+…+ k (3 k +1)+( k +1)[3(k +1)+1]=(k +1) ¿

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

2

3
1.4+ 2.7+3.10+…+ k (3 k +1)+(k +1)[3( k +1)+1]
¿
Vậy đẳng thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
 c) Bước 1. Với  n=1 , ta có 

1
1
1
= =
. Do đó đẳng thức đúng với  n
(2.1−1)(2.1+1) 3 2 ⋅1+1
¿ 1. 

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có:
1
1
1
1
k
+
+
+…+
=
1.3 3.5 5.7
(2 k−1)(2 k +1) 2 k +1

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
1
1
1
1
1
k +1
+
+
+…+
+
=
. 
1.3 3.5 5.7
(2 k−1)(2 k +1) [2(k +1)−1][2( k +1)+1] 2(k + 1)+1

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
1.3 3.5 5.7
(2 k−1)(2 k +1) [2(k +1)−1][2(k +1)+1]
k
1
¿
+
2 k +1 [2(k +1)−1][ 2(k +1)+1]
k
1
¿
+
2 k +1 (2 k +1)(2 k +3)
k (2 k +3)+1
¿
(2k + 1)(2 k +3)
2 k 2+3 k +1
¿
(2k + 1)(2 k +3)
(k +1)(2 k +1)
k +1
k +1
¿
=
=
.
(2 k +1)(2 k+ 3) 2 k +3 2(k +1)+1

Vậy đẳng thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N ¿ :
a) 3n −1−2 n chia hết cho 4 ;
b) 7n −4 n−3 n chia hết cho 12 .
Lời giải
a) Bước 1 . Với n=1, ta có 31−1−2⋅ 1=0 ⋮ 4 . Do đó khẳng định đúng với n=1. Bước 2. Giả sử
khẳng định đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có: 3k −1−2 k ⋮ 4 .

3

4
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
3

k +1

−1−2(k +1)⋮ 4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
3k +1−1−2(k +1)=3 ⋅3k −1−2 k−2=3 ⋅3k −3−2 k=3 ⋅3 k −3−6 k +4 k
¿ 3 ( 3 −1−2 k ) + 4 k
k

Vì ( 3 k −1−2 k ) và 4 k đều chia hết cho 4 nên 3 ( 3k −1−2 k ) + 4 k ! 4 hay 3k +1−1−2(k +1)： 4 .
Vậy khẳng định đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
b) Bước 1 . Với n=1, ta có 71−4 1−31=0 :12. Do đó khẳng định đúng với n=1.
Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có: 7 k −4 k −3 k ⋮ 12.
Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
7

k+1

−4

k +1

k +1

−3

⋮ 12

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
7 k+1−4k +1−3k +1=7 ⋅ 7 k −4 ⋅ 4 k −3 ⋅3k =7⋅7 k −7 ⋅ 4 k −7 ⋅ 3k +3 ⋅4 k +4 ⋅3k
k
k
k
k
k
k
k
k
k−1
k −1
¿ 7 ( 7 −4 −3 ) +3 ⋅4 +4 ⋅ 3 =7 ( 7 −4 −3 ) +12 ⋅4 +12 ⋅3 ¿ vì k ≥ 1¿ .

Vì 7 ( 7 k −4 k −3 k ) ,12 ⋅4 k−1 và 12 ⋅3k−1 đều chia hết cho 12 nên
7 ( 7 k −4 k −3 k ) +12⋅ 4 k−1+12 ⋅3k−1 :12 hay 7 k+1−4k +1−3k +1 :12
Vậy khẳng định đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 3
Chứng minh rằng 8 n ≥ n3 với mọi n ∈ ◻ ¿.
Lời giải
Bước 1 . Với n=1, ta có 81 =8>1=13 . Do đó bất đẳng thức đúng với n=1.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có: 8 k ≥ k 3.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh: 8 k+1 ≥ ¿
Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
8 k+1=8 ⋅8 k ≥ 8 ⋅k 3 =k 3 +3 k 3 +3 k 3 + k 3 ≥ k 3 +3 k 2+3 k+ 1(vi ̀k ≥ 1)=¿.

4

5
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10:
1 1
1 n+ 1
Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ + + …+ ≤
đúng với mọi n ∈ ◻ ¿.
2 3
n
2

Lời giải:
1
1+1
Bước 1 . Với n=1, ta có =1=
. Do đó bất đẳng thức đúng với n=1.
1
2

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có:
1 1
1 k +1
1+ + + …+ ≤
2 3
k
2

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
1 1
1 1 ( k +1)+1
1+ + + …+ +
≤
.
2 3
k k+1
2

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
¿

Vậy bất đẳng thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 1, một bạn học sinh thực
hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Bước 1: Rót 11 nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Bước 2: Rót 11 nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.
Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4 , …
Kí hiệu a n là lượng nước có trong bình sau bước n ( n ∈ ◻ ¿ ) .
a) Tính a 1 , a2 , a3. Từ đó dự đoán công thức tính a n với n ∈ ◻ ¿.
b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Lời giải
a) Sau bước 1 thì trong bình có

1
1
1 nước, do đó a 1= .
2
2

5

6
1
+1
3
(
Sau bước 2 thì trong bình có: 2 ) 3 nước, do đó a = .
4
= 1
2

2

4

3
+1
7
(
Sau bước 3 thì trong bình có: 4 ) 7 nước, do đó a = .
8
= .1
2

2

Ta có thể dự đoán a n=

8

2n−1
.
2n

b) Ta chứng minh bằng quy nạp:
1

1 2 −1
Bước 1 . Với n=1, ta có a 1= = 1 . Do đó công thức đúng với n=1.
2
2

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n=k ≥1 , nghĩa là có: a k =

2k −1
.
2k

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k +1, nghĩa là cần chứng minh:
a k+1=

k+ 1

2

−1

k+1

2

Thật vậy: a k là lượng nước có trong bình sau bước thứ k thì lượng nước có trong bình sau bước
thứ k +1 là:
k
( 2k −1 ) + 2k
2 −1
+
1
k
k
k
k+1
a k +1
2
2
2⋅ 2 −1 2 −1
a k+1=
=
=
= k
= k +1 .
2
2
2
2 ⋅2
2

Vậy công thức đúng với n=k +1.
Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.
Bài 6
Tìm hệ số của x 3 trong khai triển:
a) ¿
x 7
b) 1+ .
2

( )

Lời giải:
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
¿

Số hạng chứa x 3 ứng với giá trị k =3. Hệ số của số hạng này là C 38 ¿ .
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

6

7

( )

7

()

()
()

()

k

x
0 7
1 6 x
k 7−k x
7 x
1+ =C 7 1 +C 7 1
+…+ C7 1
+…+C 7
2
2
2
2
k
7
1
1 k
1 7
¿ 1+C 17 x +…+C k7
x + …+C 77
x .
2
2
2

()

7

()

1 3 35
= .
Số hạng chứa x ứng với giá trị k =3. Hệ số của số hạng này là C
2
8
3
7

3

Bài 7
Tìm hệ số của x 5 trong khai triển (2 x+3)¿.
Lời giải
Có (2 x+3)¿
¿ 2 x ¿.

Ta tìm hệ số của x 5 trong từng khai triển: 2 x ¿ và 3 ¿.
+) Có: 2 x ¿
¿2 x¿
¿
0

7

1

6

¿ 2 C6 x + 2(−2)C 6 x +2 ¿

+2 ¿

Hệ số của x 5 trong khai triển này là 2 ¿.
+) Có: 3 ¿
¿3¿
¿
0

6

1

5

¿ 3 C6 x +3(−2)C 6 x +3 ¿

+3 ¿

Hệ số của x 5 trong khai triển này là 3(−2) C16 =−36.
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển (2 x+3)¿ là 120+(−36)=84 .
Bài 8
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của ¿, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x
tăng dần.

7

8
b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của 1 , 026.
Lời giải
a) Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
¿

Ba số hạng đầu tiên của khai triển là 1,12 x và 60 x 2.
b) Với x nhỏ thì x 3 , x 4 , x 5 , x 6 sẽ rất nhỏ. Do đó có thể coi ¿.
Khi đó 1 , 026=¿.
Bài 9
Trong khai triển biểu thức ¿ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Lời giải
Có ¿
¿

Thay x=1, ta được:
¿

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được là −1.
Bài 10
Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n ∈ N ¿ :
n n
n
a) 1+2 C1n + 4 C2n+ …+2n−1 C n−1
n + 2 C n=3

b) C 02n +C 22 n +C24n +…+C 22 nn=C 12 n+C 32 n +C52 n +…+ C22 n−1
n .
Lời giải
n n
a) 1+2 C1n + 4 C2n+ …+2n−1 C n−1
n +2 Cn
0

1

2

2

n −1

n−1

¿ C n 1+C n 2+C n 2 + …+Cn 2

n

n

0 n

1 n−1

+ Cn 2 ¿ C n 1 +C n 1

b) Ta có:
¿

Cho x=−1, ta được:
¿

8

2

2+ Cn 1

n−2 2

n−1

2 +…+C n 1.2

n−1

n n
+C n 2 ¿ ¿.

9

Tuần : 21, 22, 23
Tiết PPCT: 21, 22, 23
Chuyên đề
❸

Bài 1. ELIP

Hình học

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Xác định được các yếu tố đặc trưng của đường elip (đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục,
tâm sai, đường chuẩn, bán kính qua tiêu) khi biết phương trình chính tắc của elip.
- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với elip (ví dụ: giải thích một số hiện tượng
trong quang học, xác định quỹ đạo chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời,...).
2. Năng lực
- Tư duy và lập luận toán học: So sánh, tương tự hóa các hình ảnh về elip.
Từ các trường hợp cụ thể, HS khái quát, tổng quát hóa thành các kiến thức về 3 đường cônic.
- Mô hình hoá Toán học: Chuyển vấn đề thực tế về bài toán liên quan đến elip, sử dụng các kiến
thức về elip để giải bài toán liên quan đến thực tế.
- Giao tiếp toán học: Trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận và sử dụng được một cách hợp lí
ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt các nội dung liên quan đến
elip.
- Sử dụng công cụ và phương tiện học toán: Sử dụng máy tính cầm tay, điện thoại/ laptop: tìm
kiếm và trình bày các hình ảnh của elip trong cuộc sống.

o
o

Năng lực số (Tích hợp xuyên suốt):
Sử dụng phần mềm toán học (GeoGebra) để biểu diễn điểm , vẽ và tính toán được các yếu tố cơ
bản của elip
Sử dụng máy tính cầm tay để thực hiện tính toán được các yếu tố cơ bản của elip
3. Phẩm chất
- Chăm chỉ : Tích cực hoạt động cá nhân, hoạt động nhóm.
- Trung thực: Khách quan, công bằng, đánh giá chính xác bài làm của nhóm mình và nhóm bạn.
- Trách nhiệm: Tự giác hoàn thành công việc mà bản thân được phân công, phối hợp với thành
viên trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
- Máy chiếu, bảng phụ.
- Vở ghi, bút, MTCT, Sách chuyên đề học tập Chân trời sáng tạo.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
1. HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG (THỜI GIAN: 5 phút)
Phương pháp, kỹ thuật dạy học: Dạy học thông qua trải nghiệm và giải quyết vấn đề
Phương tiện, học liệu: Slide trình chiếu, clip trên youtube, phiếu học tập

9

10
Mục tiêu: Tạo cơ hội để HS quan tâm đến khoảng cách từ tiêu điểm của elip đến một điểm
chuyển động trên elip nhằm kết nối với khái niệm bán kính qua tiêu.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

- Giáo viên cho học sinh xem hình
ảnh và đặt câu hỏi
- Học sinh quan sát và trả lời câu hỏi
- Giáo viên nhận xét và ghi nhận câu
trả lời của học sinh, sau đó kết luận và
giới thiệu về bài học mới.
Hành tinh M chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ
đạo hình elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm F. Làm thế
nào để tính độ dài của đoạn FM khi biết phương trình
chính tắc của elip?
Quan sát video:
https://www.youtube.com/watch?v=h4UtOtAOlpQ
Sản phẩm
Câu trả lời của Học sinh sẽ liên hệ trực tiếp với khoảng cách từ một điểm đến tiêu điểm của elip
khi ta đã biết phương trình chính tắc của elip.
2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI (THỜI GIAN: 145 phút)
1. Tính đối xứng của elip
HĐ Ôn tập về elip
Phương pháp, kỹ thuật dạy học: Dạy học thông qua trải nghiệm và giải quyết vấn đề.
Phương tiện, học liệu: Slide trình chiếu, phiếu học tập.
Mục tiêu: HS được ôn tập lại kiến căn bản về Elip đã được học ở SGK.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao nhiệm vụ
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận và
làm bài tập
- Nhóm trưởng mỗi nhóm đưa ra câu trả lời
trên phiếu học tập và gửi lại GV.
Thực hiện
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm 
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 nhóm lên bảng trình phần bài làm
của nhóm.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản
phẩm
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc của học sinh,
ghi nhận và tuyên dương HS trình bày chính

GV chia nhóm và cho nhóm tự chọn đại diện
làm nhóm trưởng.
GV cho HS điền khuyết vào phiếu học tập

Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
(Hình 1) có các yếu

10

11
xác. Động viên các HS còn lại tích cực, cố tố:
gắng hơn trong các hoạt động tiếp theo.
- Tọa độ 4 đỉnh là
- Chốt kiến thức:
,

,

,

.
Elip
nhận hai trục tọa độ
làm trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm
- Trục lớn
có độ dài …….., trục nhỏ
tâm đối xứng.
có độ dài là ………...
Hình chữ nhật có các cạnh đi qua các đỉnh
của elip và song song với các trục đối xứng - Hai tiêu điểm
được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
,
với
- Tiêu cự ……… là khoảng cách giữa hai tiêu
điểm.
Sản phẩm:
HS điền khuyết vào Phiếu học tập.

 Phương trình chính tắc của Elip (E) :
(Hình 1) có các yếu tố:
- Bốn đỉnh là
- Trục lớn
- Hai tiêu điểm

,

,

,

có độ dài 2a, trục nhỏ
,

.

có độ dài là 2b.

với

- Tiêu cự 2c là khoảng cách giữa hai tiêu điểm.
HĐ1. Khám phá về tính đối xứng của elip
Phương pháp, kỹ thuật dạy học: Dạy học hợp tác, dạy học toán qua hoạt động trải nghiệm
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, phiếu học tập.
Mục tiêu: HS có cơ hội trải nghiệm, thảo luận, nhận xét về tính đối xứng của elip thông qua
quan sát phương trình chính tắc.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS trả lời vào phiếu học tập.
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận và
làm bài tập
- Nhóm trưởng mỗi nhóm đưa ra câu trả lời
trên phiếu học tập và gửi lại GV.
Thực hiện
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các
nhóm 
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 nhóm lên bảng trình phần bài
làm của nhóm.

11

12
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản Cho elip (E) có phương trình chính tắc :
phẩm
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
và cho điểm
- GV nhận xét thái độ làm việc của học
nằm trên (E).
sinh, ghi nhận và tuyên dương HS trình bày
chính xác. Động viên các HS còn lại tích Các điểm
cực, cố gắng hơn trong các hoạt động tiếp
có
theo.
thuộc (E) hay không?
- Chốt kiến thức:
Elip
nhận hai trục tọa độ
làm trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm
tâm đối xứng.
Hình chữ nhật có các cạnh đi qua các đỉnh
của elip và song song với các trục đối xứng
được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.
Sản phẩm:
HS trả lời vào Phiếu học tập.
Vì

nên

Thay tọa độ
Nên

.
và phương trình (E):

.

Chứng minh tương tự ta được:

.

HĐ2. Thực hành về tính đối xứng của elip
Phương pháp và kĩ thuật dạy học: Dạy học truyền thống
Phương tiện và học liệu: Phiếu học tập, Slide trình chiếu
Mục tiêu: Học sinh thực hành xác định phương trình chính tắc của elip khi biết kích thước của
hình chữ nhật cơ sở.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS xem qua về ví dụ 1 từ đó làm thực
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận và hành 1.
làm bài tập
- Mỗi cá nhân đều đưa ra câu trả lời trên
phiếu học tập và GV gọi ngẫu nhiên 3 em để
kiểm tra kết quả.
Thực hiện
- HS thực hiện nhiệm vụ mà giáo viên đặt ra.
- GV quan sát, theo dõi. Giải thích câu hỏi
nếu các HS chưa hiểu nội dung các vấn đề
Viết phương trình chính tắc của elip có kích

12

13
nêu ra.
thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy
xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 em lên bảng trình phần bài làm trục của elip này.
của mình.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản
phẩm.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án
trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết
luận và dẫn dắt về chú ý: Mọi điểm thuộc
Elip đều nằm bên trong hình chữ nhật cơ sở.
Sản phẩm
HS trả lời vào Phiếu học tập.
Bốn đỉnh là

,

Hai tiêu điểm
Tiêu cự

,
là

Trục lớn

,

,

.

với

.

.

có độ dài 8, trục nhỏ

có độ dài là 6.

HĐ3. Vận dụng về tính đối xứng của elip
Phương pháp, kĩ thuật dạy học: Dạy học giải quyết vấn đề, dạy học mô hình hóa toán học, dạy
học hợp tác
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, file trình chiếu, hình elip.

Mục tiêu: Học sinh có cơ hội vận dụng tính đối xứng của elip.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS gấp mảnh giấy có hình elip
thành bốn phần chồng khít lên nhau
- GV cho HS mỗi nhóm 1 bìa hình elip
- Nhóm trưởng bàn bạc với nhóm và gấp
lại rồi nộp lại GV.
Thực hiện
- HS thảo luận nhóm thực hiện nhiệm vụ
mà giáo viên đặt ra.
- GV quan sát, theo dõi các nhóm.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 nhóm lên bảng trình phần gấp
của nhóm.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện
sản phẩm.

13

14
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương
án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt
nhất. 
- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV
kết luận , chốt kiến thức:
Elip
nhận hai trục tọa độ
làm trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm
tâm đối xứng.
Hình chữ nhật có các cạnh đi qua các
đỉnh của elip và song song với các trục
đối xứng được gọi là hình chữ nhật cơ sở
của elip.
Sản phẩm
HS sẽ gấp hình elip dựa trên trục lớn và trục nhỏ của elip.
2. Bán kính qua tiêu
HĐ1. Khám phá về bán kính qua tiêu
Phương pháp, kỹ thuật dạy học: Dạy học hợp tác, dạy học toán qua hoạt động trải
nghiệm
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, phiếu học tập.
Mục tiêu: HS có cơ hội trải nghiệm, thảo luận, về tính độ dài bán kính qua tiêu của elip.
Hoạt động của GV và HS
Chuyển giao
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận
và làm bài tập
- Nhóm trưởng mỗi nhóm đưa ra câu trả
lời trên phiếu học tập và gửi lại GV.
Thực hiện
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các
nhóm.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 nhóm lên bảng trình phần bài
làm của nhóm.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện
sản phẩm
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc của học
sinh, ghi nhận và tuyên dương HS trình

Nội dung
GV cho HS trả lời vào phiếu học tập.

Hình 6
Cho điểm

nằm trên elip (E) :
có

hai

tiêu

điểm

(Hình 6).
a) Tính
và
b) Chứng tỏ rằng:

14

theo x, y, c.

là

15
bày chính xác. Động viên các HS còn lại
tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt
động tiếp theo.
c) Tính độ dài hai đoạn
- Chốt kiến thức:
Cho điểm M trên elip (E). Các đoạn a, c, x.

.
và

theo

thẳng
và
được gọi là hai bán
kính qua tiêu của điểm M.
Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm
trên elip (E) :
theo
công

tính

được
thức:

.
Sản phẩm
HS trả lời vào Phiếu học tập.
a) Tính

và

theo x, y, c.
(1) ,

(2)

b) Lấy (2)-(1) ta được:
.
c) Ta có :

(3) ,

(4)

Lấy (3)+(4) ta được:

.

Lấy (3)-(4) ta được:

.

HĐ2. Thực hành về bán kính qua tiêu
Phương pháp và kĩ thuật dạy học: Dạy học truyền thống
Phương tiện và học liệu: Phiếu học tập, Slide trình chiếu
Mục tiêu: Học sinh thực hành sử dụng công thức bán kính qua tiêu của elip để rèn luyện
kĩ năng theo yêu cầu cần đạt.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS xem qua về ví dụ 2 từ đó làm
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận thực hành 2.
và làm bài tập
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của
- Mỗi cá nhân đều đưa ra câu trả lời trên

15

16
phiếu học tập và GV gọi ngẫu nhiên 3 em
để kiểm tra kết quả.
điểm
trên elip (E) :
.
Thực hiện
- HS thực hiện nhiệm vụ mà giáo viên đặt
b) Tìm các điểm trên elip (E):
ra.
có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.
- GV quan sát, theo dõi. Giải thích câu hỏi
nếu các HS chưa hiểu nội dung các vấn đề
nêu ra.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 em lên bảng trình phần bài làm
của mình.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện
sản phẩm.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương
án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. 
Sản phẩm:
HS trả lời vào Phiếu học tập.
a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm

:

.
.
b) Gọi

là điểm cần tìm:
.

Nên điểm cần tìm là 2 đỉnh

,

.

HĐ3. Vận dụng về bán kính qua tiêu
Phương pháp, kĩ thuật dạy học: Dạy học giải quyết vấn đề, dạy học mô hình hóa toán
học, dạy học hợp tác
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, file trình chiếu.
Mục tiêu: HS có cơ hội vận dụng tổng độ dài hai bán kính qua tiêu của elip vào thực tế
giải thích hiện tượng phản xạ âm thanh trong mái vòm đường hầm hình elip.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS xem phần vận dụng trong phiếu
- GV cho HS mỗi HS phiếu học học tập.
tập để thảo luận và làm bài tập
Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay

16

17
- Mỗi cá nhân đều đưa ra câu trả
lời trên phiếu học tập và GV gọi
ngẫu nhiên 3 em để kiểm tra kết
quả.
Thực hiện
- HS thực hiện nhiệm vụ mà giáo
viên đặt ra.
- GV quan sát, theo dõi. Giải thích
câu hỏi nếu các HS chưa hiểu nội
dung các vấn đề nêu ra.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 em lên bảng trình phần
bài làm của mình.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn
thiện sản phẩm.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc,
phương án trả lời của học sinh,
ghi nhận và tuyên dương học sinh
có câu trả lời tốt nhất. 

âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm
M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi
qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán
kính qua tiêu (Hình 7a ).
Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt
cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao
tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu
điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác
nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên
kia cùng một lúc.

Sản phẩm
HS sẽ trả lời vì quãng đường luôn bằng
3. Tâm sai
HĐ1. Khám phá về tâm sai

.

Phương pháp, kỹ thuật dạy học: Dạy học hợp tác, dạy học toán qua hoạt động trải
nghiệm
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, phiếu học tập.
Mục tiêu: HS có cơ hội trải nghiệm, khám phá mối liên hệ giữa tâm sai và hình dạng của
elip.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS trả lời vào phiếu học tập.
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận
và làm bài tập
- Nhóm trưởng mỗi nhóm đưa ra câu trả
lời trên phiếu học tập và gửi lại GV.
Thực hiện
- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các
nhóm.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 nhóm lên bảng trình phần bài

17

18
làm của nhóm.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện
sản phẩm
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc của học
sinh, ghi nhận và tuyên dương HS trình
bày chính xác. Động viên các HS còn lại
tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt
động tiếp theo.
- Chốt kiến thức:
- Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần
0) thì b càng gần a và elip trông càng
“béo''.
- Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần
1) thì tỉ số
càng “dẹt”.

càng gần 0 và elip trông

Nhận xét: Ta có
đó;

Cho biết tỉ số

của các elip lần lượt là

(Hình 8). Tính tỉ số
theo e và
nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng
elip gắn với hình chữ nhật cơ sở thay đổi.

do

- Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần
0) thì b càng gần a và elip trông càng
“béo''.
- Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần
1) thì tỉ số
càng “dẹt”.

b
càng gần 0 và elip trông
a

Sản phẩm:
HS trả lời vào Phiếu học tập.
Tâm sai càng lớn thì elip càng “dẹt” so với hơn.
HĐ2. Thực hành về tâm sai
Phương pháp và kĩ thuật dạy học: Dạy học truyền thống
Phương tiện và học liệu: Phiếu học tập, Slide trình chiếu
Mục tiêu: Học sinh thực hành tính tâm sai của các elip và dự đoán độ dẹp của elip theo
tâm sai.
Hoạt động của GV và HS

Nội dung

Chuyển giao
GV cho HS xem qua về ví dụ 3 từ đó làm
- GV cho HS phiếu học tập để thảo luận thực hành 3.
và làm bài tập
- Mỗi cá nhân đều đưa ra câu trả lời trên

18

19
phiếu học tập và GV gọi ngẫu nhiên 3 em
để kiểm tra kết quả.
Thực hiện
- HS thực hiện nhiệm vụ mà giáo viên đặt
ra.
- GV quan sát, theo dõi. Giải thích câu hỏi
nếu các HS chưa hiểu nội dung các vấn đề
nêu ra.
Báo cáo thảo luận
- GV gọi 1 em lên bảng trình phần bài
làm của mình.
- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện
sản phẩm.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương
án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên
dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt
nhất. 

a) Tìm tâm sai củaa elip
và elip

.

b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào
có hình dạng "dẹt" hơn?

Sản phẩm:
HS trả lời vào Phiếu học tập.
a) (E):

.

(E'):

.

b) Ta có:

. Nên (E') “dẹt” hơn (E).

HĐ3. Vận dụng về tâm sai
Phương pháp, kĩ thuật dạy học: Dạy học giải quyết vấn đề, dạy học mô hình hóa toán
học, dạy học hợp tác
Phương tiện, học liệu: bảng nhóm, file trình chiếu.
Mục tiêu: H