CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC
NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Hình 121 minh họa biến giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp
Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở
tỉnh Nghệ An (Hình 120).

KHỞI ĐỘNG

Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa
trong Hình 121?

CHƯƠNG VII. TAM GIÁC
BÀI 12: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG
TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

02

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

01
ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

HĐ 1:

Thảo luận nhóm, hoàn thành HĐ1.

Cho tam giác như Hình 122. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng .
Giải

𝑑

KẾT LUẬN
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là
đường trung trực của tam giác đó.
Chú ý:
Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào
của tam giác.

Ví dụ 1 (SGK – tr112)
Trong ba đường thẳng (Hình 123), đường thẳng nào là đường trung trực
của tam giác ?

Giải
- Đường thẳng là đường trung trực của tam
giác vì đường thẳng vuông góc với cạnh
tại trung điểm của cạnh đó.

Giải
- Đường thẳng không là đường trung trực
của tam giác

vì đường thẳng

không

vuông góc với bất kì cạnh nào của tam
giác đó.
- Đường thằng không là đường trung trực
của tam giác vì đường thẳng không đi
qua trung điểm của bất kì cạnh nào của
tam giác đó.

Ví dụ 2 (SGK – tr112)
Cho tam giác cân tại . Vẽ đường trung tuyến . Chứng minh là đường
trung trực của tam giác .
Giải
Vì tam giác cân tại nên .
Suy ra nằm trên đường trung trực của .
Vì là đường trung tuyến của tam giác nên .
Suy ra nằm trên đường trung trực của .
Vậy là đường trung trực của tam giác .

LUYỆN TẬP 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD
cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Giải

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AD là đường phân giác của ∆ABC
nên

Xét ∆ABD và ∆ACD có:
AB = AC (chứng minh trên)
AD chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c - g - c)

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).
Do BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC.
Do và nên
Do đó AD ⊥ BC.
Khi đó AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường
trung trực của đoạn thẳng BC.

Ví dụ 3 (SGK – tr113)
Cho tam giác nhọn ABC. Dùng thước thẳng và compa vẽ các đường
trung trực của tam giác đó.
Hướng dẫn:

- Vẽ đường trung trực m của cạnh BC.
- Tương tự vẽ hai đường trung trực
của các cạnh AB, AC.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

02
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG
TRUNG TRỰC CUẢ TAM GIÁC

HĐ 2:

Thảo luận nhóm, hoàn thành HĐ2.

Quan sát các đường trung trực của tam giác (Hình 126), cho biết ba
đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Các đường trung trực của tam giác
ABC cùng đi qua điểm O.

KẾT LUẬN
Định lí:
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Nhận xét:
Đế xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta
chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm
của hai đường đó.

Ví dụ 4 (SGK – tr113)
Cho tam giác có đường trung trực của hai cạnh và cắt nhau tại .
Điểm có nằm trên đường trung trực của cạnh không? Vì sao?
Giải
Vì ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm nên giao điểm
của hai đường trung trực của các cạnh và cũng thuộc đường trung trực của
cạnh .
Vậy điểm nằm trên đường trung trực của cạnh .

LUYỆN TẬP 2
Trong Hình 127, điểm O có phải là giao điểm ba đường trung trực của
tam giác ABC không?
Giải
Trong hình, đường thẳng qua O và cắt
AC không vuông góc với AC nên O không
phải giao điểm ba đường trung trực của
tam giác ABC.

HĐ 3:
Quan sát giao điểm của ba đường trung trực của tam giác (Hình
128 ) và so sánh độ dài ba đoạn thẳng .
Giải:

OA = OB = OC

Nhận xét:
Giao điểm ba đường trung trực của một
tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

KẾT LUẬN
Trong một tam giác, ba đường trung trực cùng đi


  
F1 OA , F2 OB

qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của
tam giác.

CHỨNG MINH
Vẽ các đường trung trực lần lượt của các cạnh và . Gọi là
giao điểm của hai đường thẳng và
Vì nằm trên đường trung trực của cạnh nên
.
Tương tự, ta có .
Suy ra . Do đó điểm nằm trên đường trung
trực của cạnh .

CHỨNG MINH

Vậy ba đường trung trực của tam giác cùng đi
qua điểm .
Mặt khác, ta có: .
Vậy điểm cách đều ba đỉnh của tam giác .

Ví dụ 5 (SGK – tr114)
Cho tam giác đều có là trọng tâm. Chưng minh cũng là điểm cách
đều ba đỉnh của tam giác đó.
Giải
Vì là trọng tâm của tam giác nên các
đường thẳng lần lượt cắt các cạnh tại
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
này.

Giải
Tam giác đều nên tam giác cân tại đỉnh .
Suy ra .
Do nên là đường trung trực của đoạn thẳng .
Vì thế, đường trung tuyến cũng là đường trung trực của tam

giác .

Tương tự các đường trung tuyến cũng là các đường trung trực của tam
giác .
Do đó là giao điểm ba đường trung trực của tam giác .
Vậy cách đều ba đình của tam giác .

LUYỆN TẬP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong . Khi đó
O là:   
A. Điểm cách đều ba cạnh của 
B. Điểm cách đều ba đỉnh của 
C. Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.
D. Đáp án B và C đúng

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Cho tam giác ABC cân tại A có d là đường trung trực của
cạnh AB và AE là tia phân giác của góc BAC (, O là giao điểm của d
và AE. Khi đó điểm O là:
A. Điểm nằm trên đường trung trực của cạnh AC.
B. Điểm nằm trên đường phân giác của góc B.
C. Điểm nằm trên đường trung tuyến của cạnh AC.
D. Điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. H là hình chiếu của A
trên cạnh BC. Chọn câu trả lời sai.
A. H nằm trên đường trung trực của cạnh BC.
B. H là giao của ba đường trung trực trong tam giác ABC.
C. H nằm trên đường phân giác của góc .
D. H là giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A, có , đường trung trực của AB
cắt BC ở D. Số đo góc là:
A.
B.
C.
D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, có , đường trung trực của
BC cắt AC tại M. Em hãy chọn câu đúng.
A. BM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
B. BM = AB.
C. BM là phân giác của góc ABC.
D. BM là đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 1. (SGK- tr.115)
Cho tam giác và điểm thoả mãn . Chứng minh rằng là giao điểm ba
đường trung trực của tam giác .
Giải

- Do OA = OB nên O nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng AB.
- Do OB = OC nên O nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng BC.
Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung
trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BC nên O là
giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2. (SGK- tr.115)
Cho tam giác . Vẽ điểm cách đều ba đỉnh trong mỗi trường hợp sau:
a) Tam giác nhọn;

Giải

Giải
b) Tam giác vuông tại ;

c) Tam giác có góc tù.

Bài 3. (SGK- tr.115)
Tam giác có ba đường trung tuyến cắt nhau tại . Biết rằng điểm cũng là giao
điểm của ba đường trung trực trong tam giác . Chứng minh tam giác đều.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA, AB.
Do G vừa là trọng tâm của tam giác và P là
trung điểm của AB nên C, G, P thẳng hàng.

Giải
Do G là giao điểm ba đường trung trực của tam giác
nên G nằm trên đường trung trực của cạnh AB do đó C
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Suy ra CA = CB.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

VẬN DỤNG

Bài 4. (SGK- tr.115)
Tam giác có ba đường phân giác cắt nhau tại . Biết rằng cũng là giao
điểm ba đường trung trực của tam giác . Chứng minh tam giác đều.
Giải
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ
từ I đến BC, CA, AB.
Do I là giao điểm ba đường phân giác của
tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Giải
Do là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên I nằm
trên đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra đường thẳng qua I, vuông góc với BC, CA, AB lần lượt là
đường trung trực của các cạnh BC, CA, AB.
Suy ra M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
Do AI là đường phân giác của nên

Giải
Xét ∆PAI vuông tại P và ∆NAI vuông tại N có:
AI chung.
Suy ra ∆PAI = ∆NAI (cạnh huyền - góc nhọn).
Do đó PA = NA (2 cạnh tương ứng).
Mà P là trung điểm của AB nên ;
N là trung điểm của CA nên

Giải
Suy ra AB = CA.
Thực hiện tương tự ta thu được BA = BC.
Do đó AB = BC = CA.
Tam giác ABC có AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Bài 5. (SGK- tr.115)
Cho tam giác . Đường trung tực của hai cạnh và cắt nhau tại điểm nằm
trong

tam

giác.

là

trung

điểm

của

.

Chứng

minh:

b) .

a)
Giải

a) Tam giác ABC có O là giao điểm hai
đường trung trực của đoạn thẳng AB
và đoạn thẳng AC.

Giải
Mà ba đường trung trực trong tam giác đồng
quy nên O nằm trên đường trung trực của
đoạn thẳng BC.
Lại có M là trung điểm của BC nên OM là
đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó OM ⊥ BC.

Giải
b) Do OM ⊥ BC nên ∆OMB và ∆OMC vuông tại M.
Xét ∆OMB vuông tại M và ∆OMC vuông tại M có:
OM chung.
MB = MC (theo giả thiết).
Suy ra ∆OMB = ∆OMC (2 cạnh góc vuông).
Do đó .

CÓ THỂ EM CHƯA BIẾT
Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác
Nếu O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC thì OA = OB = OC.
Đặt R = OA. Đường tròn tâm O bán kính R đi qua ba đỉnh của tam giác ABC. Sau
này, ta sẽ gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và điểm O là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nếu tam giác ABC nhọn thì điểm O nằm trong tam giác.
Nếu tam giác ABC vuông thì điểm O là trung điểm của
cạnh huyền. Nếu tam giác ABC tù thì điểm O nằm ngoài
tam giác.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
* Chuẩn bị trước
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

"Bài 13: Tính chất ba

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

đường cao của tam
giác"

HẸN GẶP LẠI CÁC EM
Ở TIẾT HỌC SAU!